【数理統計学】確率分布のまとめ

二項分布（二項分布とベルヌーイ分布）

二項分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\begin{pmatrix}
n\\
x
\end{pmatrix}
p^x(1-p)^{n-x} & (x = 0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,n) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$nは正の数、0\leq p \leq 1$$

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
n\\
x
\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{x!(n-x)!}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=
(pe^t+1-p)^n
\end{equation}

$$E[X]=np$$

$$\mathrm{Var}[X]=np(1-p)$$

ベルヌーイ分布($n=1$の二項分布)

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
p^x(1-p)^{1-x} & (x = 0,1) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$0\leq p \leq 1$$

\begin{equation}
m_X(t)=
(pe^t+1-p)
\end{equation}

$$E[X]=p$$

$$\mathrm{Var}[X]=p(1-p)$$

超幾何分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{\begin{pmatrix}
K\\
x
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
N-K\\
n-x
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
N\\
n
\end{pmatrix}}
& (x = 0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,n) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$N,nは正の数、Kは非負の整数でN\geq K,N\geq n$$

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
n\\
x
\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{x!(n-x)!}
\end{equation}

$$E[X]=n\dfrac{K}{N}$$

$$\mathrm{Var}[X]=n\dfrac{K}{N} \cdotp \dfrac{(N-K)}{N} \cdotp \dfrac{(N-n)}{(N-1)}$$

ポアソン分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}
& (x = 0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=
\exp{[\lambda (e^t -1)]}
,\quad-∞＜t＜∞
\end{equation}

$$E[X]=\lambda$$

$$\mathrm{Var}[X]=\lambda$$

負の二項分布（負の二項分布と幾何分布）

負の二項分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\begin{pmatrix}
r+x-1\\
x
\end{pmatrix}
p^r(1-p)^{x} & (x = 0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$r > 0、0 < p < 1$$

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-r\\
x
\end{pmatrix}=
(-1)^x \begin{pmatrix}
r+x-1\\
x
\end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=
\begin{pmatrix}
\dfrac{p}{1-(1-p)e^t}
\end{pmatrix}^r
,\quad t＜\log{[\dfrac{1}{(1-p)}]}
\end{equation}

$$E[X]=r\dfrac{(1-p)}{p}$$

$$\mathrm{Var}[X]=r\dfrac{(1-p)}{p^2}$$

幾何分布($r=1$の負の二項分布)

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
p(1-p)^x & (x = 0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,) \\
0 & (その他)
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=

\dfrac{p}{[1-(1-p)e^t]}

,\quad t＜\log{[\dfrac{1}{(1-p)}]}
\end{equation}

$$E[X]=\dfrac{(1-p)}{p}$$

$$\mathrm{Var}[X]=\dfrac{(1-p)}{p^2}$$

多項分布

\begin{equation}
f_X(x_1,x_2,\cdotp\cdotp\cdotp,x_k) =
\begin{cases}
\dfrac{n!}{x_1 ! x_2 ! \cdotp \cdotp \cdotp x_k !} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdotp \cdotp \cdotp p_k^{x_k}
& (x_i は非負の整数で \quad x_1+\cdotp\cdotp\cdotp + x_k = n) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t_1,t_2,\cdotp\cdotp\cdotp,t_k)=
(p_1 e^{t_1}+\cdotp\cdotp\cdotp+p_k e^{t_k})^n
,\quad-∞＜t_i＜∞
\end{equation}

$$E[X_i]=np_i$$

$$\mathrm{Var}[X_i]=np_i(1-p_i)$$

$$\mathrm{Cov}[X_i,X_j]=-np_i p_j$$

正規分布（正規分布と標準正規分布）

正規分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\dfrac{1}{\sqrt{2πσ^2}}
\exp\begin{pmatrix}
-\dfrac{(x-μ)^2}{2σ^2}
\end{pmatrix}
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=
\exp\begin{pmatrix}
μt+\dfrac{1}{2}σ^2t^2
\end{pmatrix}
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

$$E[X]=μ$$

$$\mathrm{Var}[X]=σ^2$$

標準正規分布(平均０,分散1の正規分布)

\begin{equation}
\phi(x) =
\dfrac{1}{\sqrt{2π}}
\exp\begin{pmatrix}
-\dfrac{x^2}{2}
\end{pmatrix}
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

\begin{equation}
\Phi(x) =
\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)dx
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

$$E[X]=0$$

$$\mathrm{Var}[X]=1$$

ガンマ分布と指数分布

ガンマ分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}
& (x > 0) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$\alpha > 0、\beta > 0$$

\begin{equation}
m_X(t)=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\beta}{{\beta}-t}
\end{pmatrix}^\alpha
,\quad t＜\beta
\end{equation}

$$E[X]=\dfrac{\alpha}{\beta}$$

$$\mathrm{Var}[X]=\dfrac{\alpha}{\beta^2}$$

指数分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\beta e^{-\beta x}
& (x > 0) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=
\dfrac{\beta}{{\beta}-t}
,\quad t＜\beta
\end{equation}

$$E[X]=\dfrac{1}{\beta}$$

$$\mathrm{Var}[X]=\dfrac{1}{\beta^2}$$

ベータ分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta -1}
& (0<x<1) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$\alpha > 0、\beta > 0$$

\begin{equation}
B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta -1}dx
=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}
\end{equation}

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta -1}
& (0<x<1) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$E[X]=\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}$$

$$\mathrm{Var}[X]=\dfrac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}$$

$χ^2$(カイ二乗)分布

$χ^2$(カイ二乗)分布( $\alpha=\frac{n}{2},\beta=\frac{1}{2}$ のガンマ分布)

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}
& (x > 0) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
m_X(t)=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{1-2t}
\end{pmatrix}^\frac{n}{2}
,\quad t＜\dfrac{1}{2}
\end{equation}

$$E[X]=n$$

$$\mathrm{Var}[X]=2n$$

$F$分布

\begin{equation}
W=
\dfrac{X/m}{Y/n}
\end{equation}

\begin{equation}
f_W(w) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma \begin{bmatrix}\dfrac{(m+n)}{2}\end{bmatrix} m^{\frac{m}{2}}n^{\frac{n}{2}}} {\Gamma \begin{pmatrix}\dfrac{m}{2}\end{pmatrix} \Gamma \begin{pmatrix}\dfrac{n}{2}\end{pmatrix}}\cdotp \dfrac{w^{(\frac{m}{2})-1}}{(mw+n)^{\frac{(m+n)}{2}}}
& (w > 0) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$E[W]=\dfrac{n}{n-2},\quad n>2$$

$$\mathrm{Var}[W]=\dfrac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2 (n-4)},\quad n>4$$

$t$分布

\begin{equation}
Y=
\dfrac{Z}{\sqrt{\dfrac{X}{n}}}
\end{equation}

\begin{equation}
f_Y(y) =

\dfrac{\Gamma \begin{bmatrix}\dfrac{(n+1)}{2}\end{bmatrix}} {(\sqrt{n\pi})\Gamma \begin{pmatrix}\dfrac{n}{2}\end{pmatrix}}
\begin{bmatrix}
1+\dfrac{y^2}{n}
\end{bmatrix}
^{\frac{-(n+1)}{2}}
,\quad -\infty<y<\infty
\end{equation}

$$E[Y]=0,\quad n>1$$

$$\mathrm{Var}[Y]=\dfrac{n}{n-2},\quad n>2$$

その他

コーシー分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\dfrac{\alpha}{\pi[\alpha^2+(x-\beta)^2]}
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

$$\alpha > 0、-\infty < \beta < \infty$$

\begin{equation}
F_X(x)=
\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \arctan(\dfrac{x-\beta}{\alpha})
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

$$E[X]は存在しない$$

ラプラス分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\dfrac{1}{2\beta}
\exp\begin{bmatrix}
-\dfrac{
\begin{vmatrix}
x-\alpha
\end{vmatrix}
}{\beta}
\end{bmatrix}
,\quad-∞＜x＜∞
\end{equation}

$$-\infty < \alpha < \infty 、\beta > 0$$

\begin{equation}
F_X(x) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{2}e^{\frac{(x-\alpha)}{\beta}} & x<\alpha \\
1-\dfrac{1}{2}e^{\frac{-(x-\alpha)}{\beta}} & x \geq \alpha
\end{cases}
\end{equation}

$$E[X]=\alpha$$

$$\mathrm{Var}[X]=2\beta^2$$

ワイブル分布（β＝２のときレーリー分布）

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\alpha \beta x^{\beta – 1} e^{-\alpha x^\beta}
& (x > 0) \\
0 & (その他の場合)
\end{cases}
\end{equation}

$$ \alpha > 0 、 \beta > 0 $$

\begin{equation}
F_X(x) =
\begin{cases}
0 & x<0 \\
1- e^{-\alpha x^\beta} & x \geq 0
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
E[X]=
\alpha^{-\frac{1}{\beta}} \Gamma\begin{pmatrix} 1+\dfrac{1}{\beta} \end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
\mathrm{Var}[X]=
\alpha^{-\frac{2}{\beta}}
\begin{bmatrix}
\Gamma\begin{pmatrix} 1+\dfrac{2}{\beta} \end{pmatrix}-\Gamma^2\begin{pmatrix} 1+\dfrac{1}{\beta} \end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\end{equation}

パレト分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}
\theta k^{\theta} x^{-\theta-1}
& (x \geq k) \\
0 & (x < k)
\end{cases}
\end{equation}

$$ k > 0 、 \theta > 0 $$

\begin{equation}
F_X(x) =
\begin{cases}
1-\begin{pmatrix}\dfrac{k}{x}\end{pmatrix}^{\theta} & x > k \\
0 & x \leq k
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
E[X]=
\dfrac{\theta k}{{\theta}-1},\quad \theta > 1
\end{equation}

\begin{equation}
\mathrm{Var}[X]=
\dfrac{\theta k^2}{{\theta}-2}
-\begin{pmatrix} \dfrac{\theta k}{{\theta}-1} \end{pmatrix}^2
,\quad \theta > 2
\end{equation}

対数正規分布

\begin{equation}
f_X(x) =
\begin{cases}

\dfrac{1}{x\sqrt{2πσ}}
\exp\begin{bmatrix}
-\dfrac{1}{2σ^2}(\log x-μ)^2
\end{bmatrix}

& (x > 0) \\
0 & (x \leq 0)
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
E[X]=e^{μ+\frac{1}{2}\sigma^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\mathrm{Var}[X]=e^{2μ+2\sigma^2}-e^{2μ+\sigma^2}
\end{equation}